پس از معرفی مکانیک نیوتنی، دانشمندان زیادی از این نظریه به عنوان مکانیک سماوی در مطالعه و شناخت کیهان استفاده کردند. در همان سالهای اولیه مطالعه گرانشهای قوی و تأثیرات آن بر سایر اجرام مورد توجه قرار گرفت.
نخستین بار در سال 1784 میشل[1] در مقالهای سرعت فرار[2] را با اطلاعات آن روز محاسبه کرد [1] و در سال 1796 لاپلاس[3] نیز همان نظریهی میشل را دوباره مطرح کرد که با توجه به اینکه مقدار دقیقی برای سرعت نور محاسبه نشده بود، آنچنان که میبایست مورد توجه قرار نگرفت. در اواخر قرن 19 سرعت نور کاملاً معلوم و اندازه گیری شد و از طرفی در سال 1915 اینشتین نظریهی نسبیت عام را برای تشریح مبانی هندسی برهمکنشهای گرانشی، که منجر به انحنای فضازمان توسط ماده یا انرژی میشد، مطرح کرد و نشان داد که گرانش روی مسیر نور نیز تأثیر میگذارد.
حقیقتهایی در مورد گرانش وجود دارد که نقش آن‌را در پدیدههای فیزیکی نمایان می کند، از جمله اینکه: در نظریهی نیوتنی خورشید نیروی گرانشی به زمین وارد می کند و از سوی دیگر زمین در پاسخ به این نیرو به دور خورشید میگردد. در نسبیت عام جرم خورشید انحنایی در فضازمان ایجاد می کند و زمین در مسیری مشخص در این فضازمان منحنی حرکت می کند. به عبارت دیگر در نظریه نیوتنی، گرانش برهم کنش از راه دور بین جرمهاست اما در نسبیت عام، گرانش به صورت انحنای هندسی فضازمان توصیف می شود.
در سال 1916 چند ماه پس از اینکه اینشتین معادلات خود را ارائه کرد، شوارتزشیلد نخستین جواب دقیق معادلات اینشتین را یافت ]2[ و اظهار داشت که از دیدگاه نظری سیاهچالهها وجود دارند. سپس دانشمندان با در نظر گرفتن این سیاهچاله در مبدأ مختصات، دریافتند که در فاصلهی مشخصی از آن نور هم نمی تواند از دام سیاهچاله خارج شود. به این فاصله، شعاع شوارتزشیلد و به ابر سطحی که در این فاصله قرار دارد، افق رویداد سیاهچالهی شوارتزشیلد میگویند.
اینشتین معادلات نسبیت عام را به صورت یک رابطه تانسوری به شکل زیر ارائه نمود:
که در آن یک ثابت عددی مثبت موسوم به ثابت گرانش اینشتین میباشد. این معادله تأثیرات ماده بر انحنای فضازمان را نشان میدهد. در طرف راست معادله (1-1)، تانسور همان تانسور انرژی- تکانه است که معرف میدانهای مادی مختلف میباشد. طرف چپ این معادله که نقش هندسهی فضازمان را دارد، توسط تانسور اینشتین معرفی می شود که این تانسور به صورت زیر تعریف می شود:
(1-2)
که در آن و به ترتیب تانسور و اسکالر ریچی میباشند. اینشتین فقط مشتقات مرتبهی اول و دوم متریک را در معادلات خود در نظر گرفت و بعدها برای توضیح جهان شتابدار ثابت کیهانشناسی را نیز در معادله وارد کرد.
در سال 1971 لاولاک[4] با درنظر گرفتن وابستگی خطی به مشتقات مرتبهی دوم متریک، معادلات گرانش در ابعاد بیش از 4- بعد را معرفی و بهجای تانسور اینشتین یک تانسور عمومیتر در معادلات گرانشی ارائه نمود. وی توانست به لاگرانژی که تعمیمی بود از لاگرانژی اینشتین – هیلبرت[5] دست پیدا کند [3-5]. در فصل سوم در مورد گرانش لاولاک به اختصار بحث خواهیم کرد. ما در این رساله سعی بر این داریم که در طرف چپ معادلات میدان، به جای استفاده از گرانش اینشتین از گرانش مرتبهی دوم لاولاک (گرانش گوس- بونه) استفاده کنیم.
همان‌طور که گفته شد، در سمت راست معادله (1-1)، تانسور انرژی- تکانهی مربوط به میدانهای مادی مختلف قرار دارد. یکی از مهم‌ترین این میدانها، میدان الکترومغناطیسی میباشد. معادلات ماکسول به عنوان یک میدان خطی الکترومغناطیسی، از معروف‌ترین این میدانهاست.
پس از روی کار آمدن نظریهی نسبیت عام، با توجه به اینکه این نظریه یک تئوری غیرخطی گرانش میباشد، دانشمندان علاقهمند به نظریات غیرخطی شدند.
معادلات ماکسول چگونگی ایجاد میدانهای الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریانهای الکتریکی و نیز پیدایش یکی از این میدانها توسط تغییر زمانی میدان دیگر را توصیف می‌کنند. اما این معادلات در حالاتی خاص دارای ایراداتی است که میتوان به نامحدود شدن میدان الکتریکی ذرات باردار نقطهای در محل آن ها اشاره نمود.
تئوری میدانهای غیرخطی به این دلیل که اغلب سیستمهای فیزیکی موجود در طبیعت ذاتاً غیرخطی هستند بسیار مورد علاقه بود و کنشهای غیرخطی در تئوری ابرریسمان نیز مطرح شدند [6-10]. اولین بار در سال 1934 الکترودینامیک غیر خطی توسط بورن و اینفلد ارائه شد ]11[ که انگیزه آن ها از ارائه چنین میدانی محاسبهی مقدار متناهی برای خود انرژی ذرات باردار نقطهای گونه بود. سپس هافمن در سال 1935 نسبیت عام را با الکترودینامیک بورن و اینفلد پیوند داد و یک جواب متقارن کروی که نشان دهنده میدان گرانشی یک جسم باردار باشد را معرفی کرد و جوابهای سیاهچالهای آن را مورد بررسی قرار داد ]12[.
از سوی دیگر در نظریهی ماکسول، میدان الکتریکی یک ذرهی باردار نقطهای تابعی از ابعاد فضازمان بوده و فقط در 4- بعد عکس مجذوری میباشد. اگر بخواهیم معادله الکترومغناطیس صرفنظر از ابعاد فضازمان متناسب با عکس مجذور فاصله باشد باید این نظریه را به صورت تعمیم یافته و غیرخطی بیان کنیم. نظریهی مناسب جهت برآورده کردن این خاصیت، نظریهی توانی ناوردای ماکسول[6] (PMI) نام دارد که در بسیاری از مقالات در حوزه گرانش به آن اشاره شده است [13و14]. در این رساله صرفنظر از نظریه های بورن- اینفلد و توانی ناوردای ماکسول دو کلاس جدید از میدانهای الکترومغناطیس غیرخطی را معرفی میکنیم و در مورد خصوصیات آن ها بحث خواهیم کرد. همچنین با در نظر گرفتن این دو کلاس غیرخطی بهجای میدان ماکسول در سمت راست معادله (1-1) جوابهای سیاهچالهای آن را بدست خواهیم آورد.
در سالهای اخیر، یکی از پیشرفتهای بزرگ در نسبیت عام، کشف رابطه بین مکانیک سیاهچالهها و قوانین ترمودینامیک بوده است ]15[. بهعنوان نمونه با وجود گرانش قوی سیاهچاله و نبود اطلاعات از درون آن، یافته های هاوکینگ در سال 1971 نشان داد در شرایط عمومی مساحت کل افقهای رویداد یک سیاهچاله هرگز نمی تواند کاهش یابد که این نتیجه را امروزه قانون دوم مکانیک سیاهچالهها مینامند. این قانون شباهت قابل توجهی با قانون دوم ترمودینامیک دارد که بیان می کند آنتروپی کل سیستم هرگز کاهش نمییابد. از این رو بکنشتین[7] پیشنهاد داد یک سیاهچاله باید آنتروپی داشته باشد و آنتروپی آن با مساحت افق رویدادش متناسب است ]16و17[.
در این رساله ما علاقهمند به بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاهچالهها میباشیم. ابتدا کمیتهای ترمودینامیکی و پایای سیاهچاله را محاسبه کرده، آنگاه با تعمیم رابطه اسمار[8] برای جوابهای بدست آمده، جرم را بهصورت تابعی از آنتروپی، بارالکتریکی و تکانهی زاویهای بدست میآوریم. سپس صحت قانون اول ترمودینامیک را برای نظریهی ارائه شده میآزماییم و در نهایت به بررسی پایداری جوابها خواهیم پرداخت. در این رساله در دستگاه واحد که میباشد کار میکنیم.
به طور کلی مطالب این رساله به صورت زیر دستهبندی شده اند:
فصل دوم به الکترومغناطیس غیرخطی اختصاص دارد. ابتدا میدانهای غیرخطی بورن- اینفلد و توانی ناوردای ماکسول را معرفی و سپس به معرفی دو کلاس جدید از الکترومغناطیس غیرخطی پرداخته می شود و لاگرانژی آنها مورد بررسی قرار داده می شود. سپس میدان الکتریکی ذرات باردار نقطهای در این نظریهها ارائه میگردد.
فصل سوم به مقدماتی در مورد گرانش اختصاص دارد. ابتدا در مورد اصول نسبیت عام به اختصار بحث می شود، آنگاه برخی تعاریف مورد نیاز در مورد هندسه و متریک فضازمان ارائه شده و سپس به معرفی گرانش لاولاک و به خصوص لاگرانژی مرتبهی دوم لاولاک (لاگرانژی گوس- بونه) پرداخته می شود. سپس به مکانیک سیاهچاله پرداخته شده و به قوانین ترمودینامیک سیاهچالهها به صورت اختصار اشاره می شود.
فصل چهارم لایهی سیاه گرانش گوس- بونه را در حضور دو کلاس جدید از الکترومغناطیس غیرخطی محاسبه و سپس خصوصیتهای هندسی فضازمان شامل تکینگی[9] (در صورت وجود) افق رویداد، رفتارهای مجانبی و… مورد بررسی قرار گرفته می شود. در ادامه کمیتهای پایا[10] و ترمودینامیکی را محاسبه کرده و قانون اول ترمودینامیک مورد بررسی قرار داده می شود.
فرم در حال بارگذاری ...
